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张延生:“易学”与“数术学”促进了中国“数学”发展 
作者:[张延生] 来源:[网友推荐] 2012-03-30

   在数学的发展历史中,一般把希腊式的以论证几何为主的逻辑演绎体系的数学称作“西方”或“西方式”的数学,而把以算术、代数和直观几何为基本内容的算法体系的数学,称之为“东方数学”或“东方起源”。这个“东方”我认为应该指的就是以“中算”为主的中国数学,而不象一般大家通常认为的是指巴比伦或印度数学。

    中国传统的数学是“东方式”数学的典型。由于受“易学象数学”伦理与方法论的影响,这种数学是形(物)与数结合在一起的数学(形象、结构、状态等与数理、数学处理技术等结合在一起)。它是一种以“算”为主并且还得使用算具、算器的数学。由前面这些要求为依据,它建立起了一套具有中国传统数学显著特点的算法体系。中国传统数学的实用性,导致并决定了它的发展是以解决实际应用问题和提高计算技术为其主要目的。这种数学,首先,是掌握古算技术,具体说就是掌握“筹算”技术。其次,掌握造“术”的技术。中国传统数学的定理和演算程序,都是以“术”的形式表现出来,并按照“术”的步骤进行解题。这与古时的统治者推崇、注重《连山》、《归藏》、《周易》、“易术”等“数术”与其技术及其理学有关。

    虽然在一些数学家眼里认为,“数”与“数学”是人类一种认识世界一切事物的重要工具,人类只有理性地利用它们才能有效地发现事物的条理性与规律性。他(她)们把以上与人类自身命运有关的这些数理规律,则认为是“迷信的宿命论”。我认为他(她)们这种看法是一种胡涂观念!难到说,我们的数学规律只能运用到一般的自然科学领域,而不适用于社会科学、人类学与医学等领域吗?!数学与数学规律只适用于与人类无关的领域及条件下吗?!知道与人无关的其他事物的规律就是(理性的)科学,知道了人类及人类自身的规律就是“迷信”、“封建迷信”吗?!因此我们说,这是对生命科学认识的一种片面观。

    在古代“数术”与“术数”一词基本上是相同的“数术者,皆明堂羲和史卜之职也”(包括有190多种书籍)、“数术穷天地,制造侔造化”意义。后来“数术”该词汇基本被“术数”一词所取代。“术数”之义是指:“政治上的‘权术’、‘策略’、‘治国’之术”以及“运用‘阴阳’‘五行’间生克制化的数理规律,来推断人事的吉凶”。现在的人们认为主要它是指后面的这种意义。又由于“术数”学是包括哲学、神学、科学、天文学、历法学、数学、气象学、医学、化学、军事、物候、博物、方术、谶谣、相术、星命、房中、风水、堪舆、择吉、易学、干支、壬、甲、太乙等学问的一个“大杂烩”,所以很难以给出它一个明确与确定的定义。由于以上的方法都是运用数的处理技术,对数量的推算、测算、推导、推演、演绎、归纳、模拟等方法和手段来预测事物的结果,藉以获得事物的答案及预卜前世与未来等,故屈原在《卜居》中说:“数(方术)有所不逮,神有所不通”。《汉书·律历志》中说:“数者,一、十、百、千、万也,所以算数事物,顺性命之理也。”《易》“说卦传”曰:“昔者圣人之作《易》也,幽赞于神明而生蓍,参天两地而倚数,……和顺于道德而理于义,穷理尽性以至于命。”“系辞传”曰:“凡天地之数,五十又五,此所以成变化而行鬼神也。”“极数知来之谓占”等词语。这些充满周期性、排序性、对称性、严密性等的数系关系与规律,很容易引起人们对“数”与“数学”的的崇拜及重视。这也是“易学”与“数术”(“术数”)学在中国古代数学发展史中,所起到的不可磨灭的重要的启迪与促进作用。

    故而我们能因此而知,中国古代传统数学的发展,是与“数术学”的发展有着不解之缘的。这从中国早期数学的发展及其成为数学学术的角度来衡量,可以说,认为“数术学”完全是封建迷信及其产物的说法,以及“易学”研究中往往一般人轻视“算卦”与“数术”学的思想,从自然科学(数学、物理学等领域)发展的角度来看,这都是一些胡涂观念。因为“易学”其一,是造成了“象数”观念的流行,其二,是推动了“组合”数学的开创与发展。其中,“一”者属于是“数术”学,“二”者是属于“数学”范畴。在秦九韶所著的《数术九章》一书之序中他说:“今数术之书尚三十余家,‘天象’、‘历度’谓之缀术,‘太乙’‘壬’(“六壬”)、‘甲’(“遁甲”)谓之三式,皆曰‘内算’,言其秘也;《九章》所载,即周官‘九数’,系于方圆者为‘叀[竖写为“一虫”,“虫”中的“中”字为“申”字]术’(测量技术),皆曰‘外算’,对内而言也。其用相同,不可岐二。”由此可见,在当时这位大数学家的眼中,我们现今所理解的数学只不过是“数术”中的一类“外算”而已。同时也说明了,中国古代的“数术”与“数学”是很难截然分得开的。比如,从某种程度和意义上讲,中国古代时期的“数术”的地位比“数学”的地位还要高,还要受到社会的重视。比如,《汉书·艺文志》记载有“数术”类内容而并没有收录《九章算术》的内容,就是一个充分的例证。而在《上缉古算术表》一书中,王孝通称:“六艺成功,‘数术’参于道化。”如果中国古代没有“造术”技术(如在中国古代的“算学”中,就有术、开方术、方程术、齐同术、增乘开方术、割圆术、更相减损术、大衍求一术、调日法、拓差术、天元术、四元术等法术)与“数术”技术的发展、普及与评说(如刘徽所著的《九章算术》注等论证了“术”的正确性与某些“术”所存在的问题),就不可能有中国古代数学与算法在世界数学领域遥遥领先的地位。我们对我国传统数学的认识,也只能是停留在“当然”而不知其“所以然”的水平之上——使我们失去了我国传统数学科学技术的某些来源和依据。由此也可以看到“易学”(包括《周易》)、“数术学”及其“方法学”、“理学”等,在中国古代传统数学的发展中起到了不可忽视的重要作用。

    以上所涉及到的一些“法”“术”各有其繁简的不同,虽然如此,它们却都有一套机械式的计算程序,这些计算程序差不多都能直接照搬到现代的计算机中来使用。这说明程序化及机械化的普适性思想在“中算家”们的思想(包括著作)中是相当的突出。中国古代数学中的一些重要概念,也往往是从算法中得到定义或者是由算法中被推导而来的。比如,负数、互素、虚根、无理方根、最大公约数、率等精髓的概念,基本都是通过相应的算法而推导出来的。

    《易传》中曰:“极其数,遂定天下之象”;我们平时所说的“在数难逃”;毕达哥拉斯所说的“万物皆有数”;老子《道德经》中说:“大道无形。……善数者不用筹策”;以及宋朝的沈作吉所著《寓简》一书的卷二中说:“物之成败皆寓乎数。知数者以数知之,知道者以道知之,物不能离乎数,数不能离乎道。以数知之则通矣,以道知之则玄矣。”其意思是说,数不离开物,数同样也离不开道而存在。“数”和“道”是相通的(“数”和“道”在任何的空间中,它们的规律都是不变的),如果以数理运算、推衍得知事物不变的道理,说明通了了事物的规律;假如通过体悟的感知来明了“道”,说明知道了事物不变的“玄”的本质。同样是宋朝的张成行在其所著的《皇极经世·观物外篇衍义》中说:“……‘气’不丽乎数,特人不见耳!故曰,非数之不行也,有数而不见也。”这也都说明了“数”及其“数理”是万物不可分离的自然属性,它是被人们自然感觉和感知到的客观存在,而并不是完全靠抽象地想象才造出来的――特别是在人类原始时期的伏羲时期(当时人们还不可能将数与实物分开来进行考虑与分析)。“易数”从上古以来一直承袭了当时的原始思维方式,数始终是依物而对应的,而不会是孤立存在的。这与西方或现代的数学不同。就是因为西方数学在发展过程中,主要是以人为的抽象性为主,往往脱离或忽视了它与物的对应状态的存在与演化,才造成了西方数学近两千多年来的三次数学危机的产生。

    在“象”“数”的关系中,中国古人认为“数”本身就是“象”的一种属性;“数”和“象”之间可以互相转化、渗透与融合的――二者间也是不可随意而分的统一体。《周易》“系辞上传”中曰:“参伍以变,错综其数,通其变,遂成天地之文;极其数,遂定天下之象”,“极数知来之谓占”。“说卦传”中还曰:“参天两地而倚数”。依靠与象[“天3”(包括天1)及“地2”]所对应的数作为设卦、立卦的根据,就是“倚数”的涵义。把“河”“洛”及爻、卦数或卦序数等最基本的基础数1、2、3及其和数3、5进行“错综”(“对”、“反”)之间的不同或相同的组合变化,并且明白其组合变化的内涵道理,才能知道天地间的各种规律。而且,只有计算与归纳到最终极(绝对、“内数”)之数后,才能找到或确立与其数相对应的卦、爻之象,这就是“极其数”的最终的目的。由此看来,“象”与“数”二者之间,在古代圣人们的思想认识中认为:“数”更带有根本的性质,数与数值的最终的相同或者不同,可以决定“象”之间的差异或共同性。

    除此之外:

    “象”还有“内象”、“外象”之说,“数有“内数”、“外数”之分。这里不只是指六爻卦体中的上(外、前)下(内、后)两卦间的“象”与“象”、“数”与“数”、“象”与“数”和“数”与“象”的关系。

    “内象”为不变的“天健也、坤顺也、离丽也、震动也、巽入也、坎险也、艮止也、兑说也”等抽象之意之类的“象”;

     “外象”为变化的“干为天、坤为地、离为火、震为雷、巽为风、坎为水、艮为山、兑为泽”或“干为圆、坤为方、离中虚、震为高、巽为绳直、坎中满、艮为石、兑为矮”等“大象”及其具体之意之类的“象”。

     “内数”指我们所研讨的那些各种“进制”中不变的(内层)基础(包括“序数”)数或方位分布数。即“河图”的分布数和“生”及“成”数;“洛书”与“后天八卦”的分布数与序数;“先天八卦”、“连山”、“归藏”中的分布数和序数等。

    “外数”指我们所研讨的那些各种“进制”中变化的超过本“进制”中最大的基础数的(外层)数。即“河图”中10以上的数(不含10);“洛书”与“后天八卦分布”9以上的数(不含9);“先天八卦”、“连山卦”、“归藏卦”中8以上的数(不含8)等。

    中国古代在一般的数理、数学、数术等计算方法上,又分为“内算”与“外算”两大类型。

    比如,在中国古代的大数学家秦九韶所著的《数术九章》一书的序言中,他说:“今‘数术’之书,尚三十余家,‘天象’、‘历度’谓之‘缀术’,‘太乙’、‘壬’、‘甲’谓之三式,皆曰‘内算’,言其秘也;《九章》所载,即周官‘九数’,系于方圆者为‘叀[竖写为“一虫”,“虫”中的“中”字写为“申”字]术’(即测量方法),皆曰‘外算’,对内而言也。其用相同,不可岐二。”他把“天文”、“历度”、“历法”的计算同“数术”中“太乙”、“六壬”、“遁甲”的计算,统称为“内算”。

    “内算”法中包含着事物根本而不变的规律和法则。

    而把数学中与“勾股”、“方”、“圆”、“测量”等有关的《数术九章》内的应用数学,称之为“外算”。

    “外算”法包含有根据人们的不同或相同需求和事物间各种变化的规律与法则。

    虽然“外算”相对“内算”来说,都有相同的用途,可是二者间是不能同日而语的。也就是说,在古人的眼里,把研究那些事物的大内含及不变性规律的计算、推演、推导、推理等方法,才认为是根本认识事物的本质的方法,而把研究那些事物的一般内含及其变化性规律的计算、推演、推导、推理等方法,则认为是认识事物的表面与暂时性的方法。通过对事物本质的推导,能知道与明确不同或相同时间条件对应下的事物确定(固定)性规律与状态,而通过对事物一般性规律与状态的推算,可以知道不同或相同时间条件下事物临时、短期或暂时性的对应规律与状态。因此中国古代的统治者们与圣贤之士们,往往都是首先注重事物的“内算”规律,其次才重视事物的“外算”规律。

    从“数”的基本数学概念上来说,大家都知道它是表述一切事物的量的概念。而“数学”在大家的眼里则认为它是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。从数学的角度看,空间形式与结构状态等也是一种数量关系。也就是说,任何空间都表现为一定数量的线、角、面、体等的不同形式的组合关系。特别是《易》卦、《易》爻、《易》象中的各自本身或与其他二者及二者间的单一或二者共同组合及结构构成的集合或方位分布状态,更能反映出这种数量关系与空间状态、形式等关系。有关这方面的论述,可见我所著的《易与数理――象数易学数学及其应用》一文及《易与和谐》一书中,有关对各易卦、易数、易象的集合、构成,以及各方位分布结构构成的数理分析与讨论。

    纯数学以现实中的数量关系与空间状态、形式为其研究对象。中国这种以形、数相结合的古代数学中,包含了丰富的几何内容(也包括“象形文字”中的几何构成)。“中算家”们在面积、体积与勾股理论及实际和应用等诸多方面,都取得了卓越的成就。中国古代数学对图形的研究也表现在对数量的计算上,它会以长度、面积及体积等度量为其主要研究对象,而往往不注重图形性质与位置关系的研究,甚至就连几何学也不去研究和讨论角的性质与度量等关系。虽然如此,可是几何对象的度量化,使“中算”中的“以算为主”的特点,仍然得以充份地体现与发挥。而这种“形数结合”的数学方式,突出地表现为几何方法与代数方法的相互渗透,并使得中国古代数学在理论与应用方面都获得了很大的成就。比如,比率算法、高次方程数值解法等,古算术与代数中的许多理论与方法都得到在几何领域中的广泛运用。除此而外,中国古代数学中的几何的原理与方法,还被成功地运用到勾股数的一般公式、开方术等数论、代数等领域。

    受“易卦”方位分布、“河图”、“洛书”数位分布及“易卦”爻、位思想的影响,“中算家”们发展出了一套内容极其丰富的“筹式”,它不仅运用筹码不同的“位”来表示不同的(数)“值”,发明了“十进制值制记数”的方法(早在距现在三千多年前的殷墟甲骨上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的“十进制”的数字方面的记载),还利用“筹”在算板上各种相对位置关系排列成特定的数学模式,用以表述某种类型的实际应用问题。这样做的结果,必然会将演算对象由“数”(数量)发展到“式”(数量关系)——使数量关系具有了更一般的代数关系——在筹式中的不同的“位”(位置)表示的是不同的(数)“量”;又以不同的位置关系表示特定的数量关系。因此可以说,我国古代的“筹式”本身就具有特殊的代数符号性质与符号系统作用。

    由于中国传统数学主要是“以算为主”的模式,所以这种数学的成果一般都表现为“算法”的形式而存在。数学问题的模式化和以“筹”为算具的方式,必然会带来计算方法程序化的特点。受“易学”成卦、卦变、象变、本卦、之卦、变卦等结果与思想及方法的影响,我国在“筹算”的过程中不用运算符号,故而也无须保留中间的运算过程,只是要求通过“筹式”的逐步变换来达到或获得最终问题的答案和结果,所以各种不同的“筹式”都有它基本的变换法则和固定的演算程序。受天文周期与“易学”中“易简”、“易图分布”及“对卦”、“反卦”、“干支”、“五行”等哲理思想的影响,中国古代的数学家非常善于运用演算中的对称性、循环性(包括重复性)、排序性等特点,并把演算与演算过程的程序设计的相当简捷而巧妙。特别是受“易学”(包括《周易大传》)“蓍草成卦法”启发下所设计出的“大衍求一术”筹算程序,当时已达到了很高的水平。古希腊的数学家是以发现数学的定理为自己的责任,而我国传统的“中算家”们却是以创造出精湛的算法为其目的。故而,有些人就因此而认为抽象性、逻辑性仅仅是希腊论证几何所具有的特征,并将数学的理论与逻辑等同起来看待。由于中国式数学与“数术学”均注重于应用,故而有些人故意只把“中算”中的算法简单地看作是处理“技术”,从而想从根本上来否定我国传统数学及“数术学”的理论意义。

    由于我国古代传统数学发展的另一个目的是不断地提高“中算”的计算技术与技巧,因此提高数字计算的速度与准确性,就成了其重中之重的目标。这中间自然而然的也包含了对算具和算法的不断改进。宋朝的沈括在描述当时的天文学家卫朴在使用“算筹”进行计算时,是“运筹如飞,人眼不能逐”的。说明他在运用“筹算”技术时,计算的速度是非常的快的。因为我国人民在很早的年代就已经使用了“十进制”的计数方法,而且还与“筹”具的使用密切相关,这些先进的记数方法与计算器具的使用,使我国在古代的计算技术方面居于世界遥遥领先的地位。在计述“算筹”的规则时,有“一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当,满六以上,五在上方,六不积聚,五不单张”等法则。由此也可以看到中国传统的“珠算”方法的产生,也是根据“筹算”的原则与方法而发展来的计算工具。由于“筹算”后来发展成了“珠算”,因此自明朝之后,这种新发展来的依赖算器的计算技术,得到了大量的实际运用与充分的发挥。比如:自明朝以后,珠算方法普遍地推广与普及,又使以数值计算为主的“实用算术”受到了后来历代数学家的重视,曾一度成为了我国数学发展中的主流。

    “寓理于算”和理论高度的精炼,是中国传统数学理论的重要特征。这不等于是说中国的古代数学没有自身的理论体系和没有使用逻辑的论证。只不过是,我国的传统数学是以追求实际与实用性为其主要目的。也就是说,它是重“法”而轻“理”的。轻“理”不等于是没有“理”,否则中国的古代数学成果怎么可能在世界的数学史上能遥遥领先呢?!只不过是“中算家”们经常是把其依据的算理蕴涵在运算过程的步骤之中了而已。只是“不说自明”、“不证自明”和“不言而喻”罢了。比如,刘徽所著的《九章算术注》中主张“析理以辞,解体用图”。这里所说的“辞”,就是指逻辑与逻辑理性的推理过程;“图”是指图形及其直观性分析。他也说的是,在数学的推导过程中,要把逻辑推理与直观的分析方法有机地结合起来,藉以论证数学结论的真实与确切性。我国传统的数学及数术学中,都含有丰富的逻辑内容、数学概念和明确的定义。所涉及的推理方法,既有归纳,又有演绎;不但有综合与分析法,还兼用了反证法。那些认为“在古代中国的数学思想中,最大的缺点是缺少严格求证的思想”的人,是缺少根据而忘自非薄才造成的这些误解。同时,也可以说明,中国的传统数学是具有自己独特的理论体系的,并且受“易学”的“易简”思想的影响,由于是以理论的高度概括与精炼为其特征,其理又是为了建立在实际或实践中有直接应用价值的数学方法,因此才架构出了这些最简单、最精巧的理论构成——虽然它们还没有形成像欧几里得《几何原本》那样公理化的完整的演绎体系。尽管如此,我们也不能因此就认为中国古代数学没有逻辑思维与证明,恰恰相反,中国古代数学与数学家的推理方式与方法是极其丰富多彩的(这从众多的数学著作与五花八门的数术方法及其著作中都能看到)。同时,观察、综合、归纳与简捷,也是“中算家”们同数术家们具备的另一套推理方法与擅长,而“形”“数”结合与“寓理于算”又是他们必定自觉自愿严守的职责。

    数学的发展从来就是计算与逻辑两种方法结合使用的。联系实际、注重计算是我国古代数学的优良传统,这也是“象数易学数学”必须遵循和发扬的传统。中国传统数学理论在系统性、一般性与严谨性方面存在有不足之处,这同样是“象数易学数学”应认真总结和吸取的教训。所以我们必须按“象数易学”注重“象”、“数”规律的开发与研究,继承并继续发扬“形”与“数”相结合的中国古代传统数学理论与方法,从新认回到“易学”传统的以“几何代数化”或“代数几何化”这种交互使用的“象数”与“形数”、“物数”结合型的数学模式与方法上来,并进一步深化及丰富逻辑演绎与计算机算法语言和软件的开发。

    古代的数学分为“长与逻辑推理”和“发展计算方法”两种不同的类型。这也大体上可以代表西方与东方数学的不同特点。有人认为“没有达到严格演绎的知识就不算是科学”。可是,即使是公理化了的严格的演绎已经达到了,可是该体系也有可能不能包罗一切。这同样也是近代数学哲学中最深刻的命题之一。我国的古代数学一贯是从实际需要的实际问题出发,经过一定地分析与提升,将其概括出一般的原则、原理与方法,最终能使它形成我们解决一大类型问题的体系。比如,使用“无穷分割求和”、“出入相补”、“斜解堑堵”、“截面比较”等原理来处理几何中的求积问题的做法,就体现出了“中算家”们对公理方法的一些认识。虽然,在刘徽的《九章算术注》中,由于受到他本人所作注释的形式的限制,未能将其中的逻辑结构作充分的扩展,可是也强烈地显示出了他的演绎推理的倾向。在《测圆海镜》中的“识别杂记”、《方圆阐幽》中的那十条“当知”里面,也都体现出了一定的演绎特色。可是在中国古数学中,往往更加多见到的是,推理及其过程是通过直观、观察、模拟、旁通、综合、归纳等非演绎的方式来实现的。“中算”对算具的依赖及形成的整套程序化算法的突出特点,远远超过了一般人们认为的古印度数学和中世纪的阿拉伯数学才具有的“以算为主”的特点。我国在计算过程中一直是长期的使用“算筹”和算盘,只不过古印度和中世纪的阿拉伯数学所使用的“土盘”等算具,只是辅助性的工具而已,它们主要的还是以笔算为主。因此它们也没能形成像我国传统数学、数术学、象数学这样:“一贯是与‘硬件’相对应的整套的‘软件’与‘软件系统’”——总是形成一整套的软硬件同时配套的计算方法与过程。

    随着当今电子计算机的大量普及与应用,组合数学与组合学的思想与方法日益地显示出它的重要作用与需求,当今组合数学与组合学已经成为当代数学非常重要与非常急需的一门学问。而在“易学”象、数(包括“二进制”、数序、排列等)、方位、分布等,乃至《太玄经》的组合、分布、数序排列(包括“三进制),还有各种各样的卜筮方法与“数术”方法,再加上受阴阳、五行、干支、五色、五音、五运、六气、六亲、六兽、二十八宿、二十四山、十二吕律等思想的启发下,演变、衍化、推演及发展起来的中国古代象数学、数术学及数学中的组合学,将会给我们提供非常丰富的形形色色的思想与方式、方法。它们的共同特点基本是通过事物的不同排列与组合,来寻找事物间的规律性(包括数理、数学方面的规律)。这种规律性又往往是通过卜筮之辞或判断的断辞、断语来体现。故而各种“数术”、“易学象数学”、“易学”(包括《周易》)方面软件的不断出现与完善,必将为中国今后数学的发展、充实与提高,提供大量值得珍惜的方式、方法、思路、思想等启示。

    写作本文的目的也是希望我们能从“象数易学数学”这个角度去了解、认识中国古代“易学象数学”中的“易数”的一些古代传统的变化思想及其变换规律,藉以丰富、充实或简化现代数理模式构成与计算方式,继承并发扬中国古代某些“象数易学数学”的优秀部分。实际上我们只要知道了“易数”的变化规律与思想方法,就能直接认识并掌握“易象”的变化思想及变化规律。这种“数”与“物”统一在一起的“象数”数理思想与方法,正是现在机械式或电子式计算机算法语言所缺少并目前无法实现的思想与方法。当有机式或生物式计算机出现后,才有可能完全实现此必由之路。


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文章评论
新法家网友(2012-04-29 03:37:43.0)
    Peercft answer! That really gets to the heart of it!
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